フェルトボールで数学を②

■その４　グノモンのススメ

2019年の1月に、旧ブログ「あなたと夜と数学と」に、私がこれまで「グノモン」を使って行ってきた実践を「がくもんのススメ・・・ぐのもんのススメ」というテーマでまとめました。

グノモンはフェルトボールを使って作っていたので、こちらにもまとめ直して、掲載しておこうと思います。

１　グノモンとは奇数を表す図形数

そもそもグノモンとは何でしょう。Wikipediaには次のような記述があります。

グノモンまたはノーモン(Gnomon)は、日時計の一部であり、影を落とすものである。グノモンという言葉は、古代ギリシア語で「指示する者」「識別する者」等の意味である。天文学や数学その他の分野で、様々な目的で用いられる。

日時計の塔の部分と影の部分を眺めると、L字型に見えますね。そこで数学では、正方形をｎ個つなげたものを２つ用意して、それらを1個の正方形を要としてL字型にあわせたものをグノモンと呼んで、奇数を表す図形数として用いられています。つまり、このことから、奇数を２ｎ＋１と表現することが自然に納得できますね。

私は昔、これを角材で作ったり、黒板掲示用としてデコパネで作ったりしていましたが、低コストで手軽に作るにはフェルトボールがいいですね。フェルトボールは100均で大量に購入できるし、木工用ボンドで加工も簡単にできます。

２　奇数の和と平方数

１から奇数を連続して足すと平方数になります。グノモンを使うと、このことが一発で納得できます。

３　グノモンとピタゴラス数

２の結果から、あるグノモンが平方数であれば、ピタゴラス数が作られることがわかります。

例えば、下図左は、

なのですが、このように、最後に加えられる奇数を９のような平方数にしておくと、

とできるので、ピタゴラス数をいくらでも作ることができます。最後に足す奇数を、

とすると、下図右のように一般化できますね。

つまり、

という恒等式が得られるので、これからピタゴラス数を無限に作ることができるのです。

４　グノモンの部分和と立法和

立法和が自然数の和の平方になることはよく知られています。これは次の様な図形数を用いることで見える化できます。

５　自然数の和

グノモンを積み上げてみましょう。こうすると、2(1+2+3+4)＋5と見ることができますね。これが5の2乗に等しいことから

自然数の和を考えることができます。

６　サイコロの目の最小値の期待値

最後に次のような問題を考えてみましょう。

ｎ個のサイコロを１回投げたとき、出た目の最小値の期待値を求めよ。

この問題は、2000年に日本で行われた国際数学教育者会議（ICME９）の時、広島の中原先生から教えていただいた問題です。ｎ＝２の場合、つまり、2個のサイコロの時は、次のグノモン型にした表を利用すればわかりますね。

ｎ＝３の場合、つまり3個のサイコロを投げた場合は、右のような立体版のグノモンを考えます。玉ねぎみたいな感じですね。これの各小立方体に、３つのサイコロの６×６×６通りのパターンン対応させているわけです。一番外側のグノモンが、最小値１のところ、次のグノモンが２のところ、という具合です。フェルトボールで作るとやや安定感に欠けますが、可愛らしくて私は気に入っています。

さて、期待値は下図左のように計算されます。そしてグノモンのイメージから、一般化すると下図右のようにまとめることができます。

Pokémon GOからGnomon GOへ！

そしてGakumonにGO！　ぐのもんのススメはがくもんのススメなり～